[알고리즘 이론] 3. 그래프이론

그래프란

• 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조
• 그래프를 구현하는 방식은 두 가지가 있다.
• 알고리즘 문제에서 서로 다른 개체가 연결되어 있다.고 하면, 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올리기.

1. 연결 리스트를 이용한 인접 리스트 방식

• 간선의 개수(O(E)) 만큼 메모리가 필요로 하지만 인접 행렬에 비해서 O(V)의 시간복잡도를 가진다.
• -> E(Edge) : 그래프 안에 있는 모든 간선들의 집합 , V(Vertax) : 그래프 내에 있는 모든 노드들의 집합

2. 2차원 배열을 이용하는 인접 행렬 방식

• 메모리 공간을 많이(O(V^2)) 필요로 하는 대신 노드간 간선의 비용을 구하는 시간이 O(1)의 시간복잡도를 가진다.

트리란

• 그래프의 일종으로 노드(정보의 단위)와 노드 사이에 하나의 간선만 존재하는 계층형 자료구조.

그래프와 트리 차이점

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프 (전통 수학에서는 무방향으로 간주)
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부무와 자식 관계가 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

1. 서로소 집합

• 공통 원소가 없는 두 집합
• EX) {1,2} 와 {3,4} 두 집합은 서로소 집합이다. -> {1,2} 와 {2,3} 두 집합은 2를 공통원소로 가지므로 서로소 집합이 아니다.

서로소 집합 자료구조 -> Union-Find 자료구조

• 서로소 집합 자료구조는 몇몇 그래프 알고리즘에서 매우 중요하게 사용됨
• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 두 집합이 서로소 관계인지 확인 -> 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 가지고 있는지 확인
• Union-Find 자료구조라고 불리며, 서로소 집합 자료구조는 Union 과 Find 2가지 연산으로 조작한다.
• Union : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• Find : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현
• 서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘
  • 1. Union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인 -> A가 속한 집합과 B가 속한 집합을 합집합으로 생성
       • 1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 찾음
       • 2. A'를 B'의 부모 노드로 설정(B'가 A'를 가르키도록 한다.)
  • 2. 모든 Union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복

- 실제로 구현할 때 A와 B 중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현하는 경우가 많으므로, 그러한 구현 방식을 따름 - EX) A가 1이고, B가 3이면 B가 A를 가르키도록(A를 B의 부모 노드로) 설정 -> B와 A를 연결하는 형태의 그래프

예시로 알고리즘 동작 방식 이해하기

전체 집합 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
주어진 연산: Union 1, 4 / Union 2, 3 / Union 2, 4 / Union 5, 6

• 4가지 Union -> 두 원소가 속한 집합들을 묶어서 한 집합으로 묶음
• Union 연산의 각 원소는 그래프의 노드로, '같은 집합에 속한다' 정보를 담은 Union 연산들은 간선으로 표현
  • 6개의 노드와 4개의 간선이 존재하는 그래프로 바꾸어 생각 가능하다.
  • 4 -> 1, 3 -> 2, 4 -> 2(이 때 4가 속한 집합({1,4}) 와 2가 속한 집합({2.3}) 을 합친 집합인 {1,2,3,4}가 한 집합이 된다.
  • 6 -> 5 연산으로 인해 {5,6} 집합이 생기며 모든 연산 후에는 {1,2,3,4} 와 {5,6} 2가지의 집합이 생긴다.

1. Union 1, 4 연산

• 노드 4의 부모 노드를 1로 변경

2. Union 2, 3 연산

• 노드 3의 부모 노드를 2로 변경

3. Union 2, 4 연산

• 노드 4의 부모 노드를 2로 변경

4. Union 5, 6 연산

• 노드 6의 부모 노드를 5로 변경

5. 특정 원소가 속한 집합 찾기

• 루트 노드가 아니라면 -> 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출해서 루트 노드를 찾는다 -> 루트 노드의 집합이 현재 원소가 속한 집합

6. 두 원소가 속한 집합 합치기

• 두 원소를 위의 메소드로 속한 집합을 찾고, 두 집합 중에서 큰 원소의 루트 노드를 작은 원소로 바꾼다.

알고리즘 문제 추천

1. 집합의 표현 (골드 5)

• https://www.acmicpc.net/problem/1717

2. 신장 트리 (Spanning Tree)

• 하나의 그래프가 있을 때, 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
  • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.

최소 신장 트리 알고리즘

• 신장 트리 중에서 최소 비용(최소 시간복잡도)으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘

그리디(탐욕) 알고리즘

• 매순간마다 최선의 선택을 하는 방법이다.
• 장점 : 빠르다.
• 단점 : 항상 최적화 되지 않고, 구한 답이 최적이 아닐 가능성이 존재한다.

1. 프림(Prim's) 알고리즘

• 루트 노드부터 시작하여, 노드마다 최소 비용인 간선만을 골라서 신장 트리를 찾는 알고리즘

2. 크루스칼(Kruskal) 알고리즘

• 가장 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.
• 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있음
• 동작 원리
  1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
  2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
     • 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
     • 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
  3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복
• 시간 복잡도 : 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선 정렬이므로, 간선의 개수가 E개일 때 O(ElogE)

동작 원리

1. 초기 단계에 모든 간선 정보만 따로 빼내어 오름차순 정렬.
2. 오름차순대로 간선을 이어가는데(Union 연산) 만약 사이클이 생기면(양쪽 원소가 이미 동일한 집합이면) 그 다음 큰 간선으로 간다.
3. 모든 간선을 다하면 종료 후 간선의 값을 다 더한다.

알고리즘 문제 추천

1. 최소 스패닝 트리 (골드 4)

• https://www.acmicpc.net/problem/1197

2. 멀티탭 스케줄링 (골드 1)

• https://www.acmicpc.net/problem/1700

위상 정렬

• 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘
  • 그래프 상에 선후 관계가 있다면, 위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있음.
• 정렬 알고리즘의 일종이다.

동작 원리

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣기.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣기

• 큐가 빌 때까지 원소를 계속 꺼내서 처리하는 과정을 반복하고, 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단 가능
  • 사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.
• 단, 기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 발생하지 않는다고 명시하는 경우가 더 많아, 예시에서는 사이클을 고려하지 않음.
• 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

예시

• 1 -> 2 , 1 -> 5, 2 -> 3, 2 -> 6, 3 -> 4, 4 -> 7, 5 -> 6, 6 -> 4 라고 가정해보자.

1. 처음 노드 1은 진입차수가 0이므로 바로 큐에 삽입.
2. 큐에 있는 노드 1을 꺼내고, 노드 1과 연결된 간선을 제거.
3. 이후 노드 2와 노드 5의 진입차수가 0이 되므로, 2와 5를 큐에 삽입
4. 큐에 있는 노드 2를 꺼내고, 노드 2와 연결된 간선을 제거.
5. 진입차수가 0이 된 노드 3을 큐에 넣고, 다음 순서인 노드 5를 꺼내고, 노드 5와 연결된 간선을 제거.
6. 진입차수가 0이 된 노드 6을 큐에 넣고, 노드 3을 꺼내고, 노드 3과 연결된 간선을 제거.
7. 진입차수 0이 되는 노드가 없으므로, 노드 6을 꺼내고, 노드 4를 넣어준다.
8. 노드 4의 간선을 제거 하고, 노드 7을 큐에 넣고, 노드 7을 꺼낸다.
9. 순서가 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7 로 결과가 나온다.

알고리즘 문제 추천

1. 줄 세우기 (골드 3)

• https://www.acmicpc.net/problem/2252

참고 자료

https://scshim.tistory.com/414